TURUN FUNGSI ALJABAR

Putri Amelia

XI IPS 3

📌Sub bab

a. Turunan fungsi aljabar dan rumus turunan

b. Persamaan garis singgung kurva menggunakan turunan

c. Masalah kontekstual menggunakan turunan satu dan turunan dua serta titik strasioner dari kurva

📍Turunan fungsi aljabar dan rumus turunan

Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. 

• Rumus turunan fungsi aljabar

1). f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

2). f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akanmenghasilkan 

1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1

f(x) = 2x → f’(x) = 2

f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axn → f’(x) = naxn-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. 

f(x) = 6x4 + 2x3 → f’(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2 

                                        = 24x3 + 6x2

Turunan fungsi aljabar juga bisa dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz seperti berikut.

• Sifat-sifat turunan fungsi aljabar

1). 

Sifat di atas berlaku pada penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.

2). 

Sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, contohnya pada perkalian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

3). 

Sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, contoh pembagian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

4). 

5). 

Sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dipangkatkan, kamu juga harus menurunkan keseluruhan fungsinya.

📝 CONTOH SOAL

Tentukan turunan fungsi aljabar akar berikut.

Pembahasan:

Pada soal di atas, berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa maksud aturan rantai turunan?

Mula-mula, kamu harus memisalkan 2x3 – 4x sebagai u(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:

Selanjutnya, tentukan hasil turunannya menggunakan sifat nomor 5.

Setelah mencari turunan u, kamu harus mencari turunan f(x).

📍 Persamaan garis singgung kurva

Turunan fungsi aljabar biasa diaplikasikan pada beberapa masalah matematis seperti gradien garis singgung kurva seperti berikut.

Dari grafik di atas, kamu akan mendapati garis sekan dan garis normal. Garis sekan adalah garis yang memotong grafik di dua titik. Persamaan gradien garis singgungnya bisa dinyatakan sebagai berikut.

Dari gambar di atas, x2 = x1 + h, dengan y = f(x), sehingga diperoleh:

Saat A mendekati B, nilai h akan semakin kecil. Jika nilai h sudah mendekati nol, artinya garis k akan menjadi garis singgung l dengan gradien m1 di titik A (x1, y1). Oleh sebab itu, diperoleh persamaan:

Dengan demikian, gradien merupakan turunan pertama dari fungsi suatu kurva atau grafik.

Jika nilai gradien sudah diketahui, kamu bisa menentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus berikut.

📝 CONTOH SOAL

Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik absis 1!

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari titik ordinat dengan mensubstitusikan x = 1 ke persamaan kurvanya.

y = x2 – 4x – 5

f(x) = x2 – 4x – 5

f(1) = 12 – 4(1) – 5 

f(2) = -8

Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik singgungnya, yaitu (1, -8).

Selanjutnya, tentukan gradien garis singgungnya.

Dengan demikian, persamaan garisnya bisa dinyatakan sebagai berikut.

y – y1 = m (x – x1)

↔ y – (-8) = -2(x – 1)

↔ y = -2x – 6

Jadi, persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik absis 1 adalah y = -2x – 6.

📍Masalah kontekstual menggunakan turunan satu dan dua serta titik strasioner dari kurva

Titik stasioner disebut juga titik kritis, titik ekstrim, atau titik balik. Titik stasioner merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva bernilai 0 (nol).

Jika fungsi f(x) kontinu dan terdiferensial, maka f(a) dikatakan NILAI STASIONER dari f(x) jika dan hanya jika f’(a)=0.

⛓️DAFTAR PUSTAKA

🔗Titik strasioner

🔗 Turunan fungsi aljabar